Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.
Ejemplo. Obtener el cuadrado de x + 2y y de 3xy + 5.
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25
Usando la identidad se tiene que:
(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25
